Red cat の数学よもやま話・新装開店

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きちんと証明

youtu.be
動画では尺の都合で厳密な証明が出来なかったので, 改めて
\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = a
を証明します.

任意の \varepsilon \gt 0 に対して自然数 N' が存在して
n \gt N' \Rightarrow |a_n - a| \lt \dfrac{\varepsilon}{2}
が成り立ちます.

\begin{align}
\left|\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} - a\right|
 &= \left|\frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + \dots + (a_n - a)}{n}\right| \\
 &\le \frac{|a_1 - a| + |a_2 - a| + \dots + |a_n - a|}{n}
\end{align}
として, |a_1 - a|, |a_2 - a|, \dots, |a_{N'} - a| の中で最大のものを K とおくと
\dfrac{|a_1 - a| + |a_2 - a| + \dots + |a_{N'} - a|}{n} \le \dfrac{KN'}{n} \to 0
なので, 自然数 N'' が存在して
n \gt N'' \Rightarrow \dfrac{KN'}{n} \lt \dfrac{\varepsilon}{2}
が成り立ちます.

よって N = \max\{N', N''\} とおくと, n \gt N ならば
\begin{align}
 &     \frac{|a_1 - a| + |a_2 - a| + \dots + |a_n - a|}{n} \\
 &=   \frac{|a_1 - a| + |a_2 - a| + \dots + |a_{N'} - a| + |a_{N' + 1} - a| + \dots + |a_n - a|}{n} \\
 &\le \frac{KN'}{n} + \left(\frac{n - N'}{n}\right)\frac{\varepsilon}{2} \\
 &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \left(1 - \frac{N'}{n}\right)\frac{\varepsilon}{2} \\
 &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\end{align}
となり
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = a
が示されました!