完備 Heyting 代数 Heyting 代数は束として完備であるとき, 完備 Heyting 代数(complete Heyting algebra)と言います. 良く cHa などと略されます.同様に Boole 代数が束として完備であるとき, 完備 Boole 代数(complete Boole algebra, cBa)と言います.既に…

前回に引き続き Heyting 代数の性質を見ていきます.最小元 を持つ Heyting 代数 において と定義し, これを の擬補元と言うのでした. 今回は擬補元の性質を中心に見ていきます.1. ならば 2. の定義より明らか.3. 2. より 4. 3. で を で置き換えると 一方で …

今回は Heyting 代数の性質についてもう少し詳し見ていきます. 以下 は Heyting 代数とし, とします.1. より明らか.2. ならば より.3. 函手 が極限を保つことから従う.4. と から により よって 分配圏の性質としても導くことができる. 5. と から従う.6. と…

今回は Boole 代数に関する大事な性質について見ていきます. Boole 代数は Heyting 代数である 補題 (証明) 定理 Boole 代数は Heyting 代数である.(証明) と補題により Boole 代数ではない Heyting 代数が存在する 補題 を Heyting 代数とする. もし に対し…

前回まで束に関する一般的な性質を見てきましたが, 今回からいよいよ Heyting 代数の話をします. Heyting 代数の定義 は有界束とします. このとき が Heyting 代数であるとは, が圏*1として冪を持つことを言います. すなわち函手 が右随伴函手 を持つことを…

ある方から証明を教えていただくことができた(正確には証明が載っている書籍を紹介していただいた)ので, 前回あいまいにしていた部分を消化しておきます.定理. が分配束でなければ を満たす が存在する.(証明) 1. がモジュラー束でないとき このとき かつ を…

束についてもう少し 一般の束に関する性質をもう少し見ていきましょう. が成り立ちます(単調性).これは と からわかります.また … (*) が成り立ちます. これは定義に従って地道に示せますので, 証明は省略します.(*) 式から が導かれます. このことと単調性…

圏としての束 もう少し束の話を続けたいのですが, 圏論の知識を持っているといろいろと楽なことが多いので, 束を圏とみなす方法を紹介します.一般に束 はそれ自体半順序集合です. これを圏とみなすためには以下のようにします. 圏 の対象は の元. 圏 の対象 …

有界束と完備束 有界束 束 は自然な方法で半順序集合とみなせることは前回分かりました. そうなると最小元や最大元は存在するのか, は自然な興味の対象になりますし, 当然ながら常に存在するとは限りません.最小元と最大元がともに存在する束を有界束と言い…

半年ぶりの記事です. 今回は, 数回にわたって Heyting 代数について書きたいと思います. 半順序集合と束 半順序集合から束 を半順序集合とします. すなわち について (反射律)*1 (反対称律) (推移律) が成り立つものとします. について を満たす が存在する…