もう一つの別解 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

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もう一つの別解をコメント欄で教えてもらったので紹介します。
$f(x) = (x^2 + 2x + 2)^2 + x^2 + 2x$
の両辺に $2$ を足すと
$f(x) + 2 = (x^2 + 2x + 2)^2 + x^2 + 2x + 2$
となるので, ここで $x^2 + 2x + 2$ を $A$ とでも置けば $A = (x + 1)^2 + 1 \geqq 1$ なので
$f(x) + 2 = A^2 + A \geqq 2$
が成り立ち, $f(x) + 2$ は $A = 1$ , すなわち $x = - 1$ のとき最小値 $2$ を取る.
従って $f(x)$ は $x = - 1$ のとき最小値 $0$ を取る.