最後に参考書を紹介するのを忘れていました。圏論の基本的なところはこちら(下は和訳本)。Categories for the working Mathematician : Saunders Mac Lane: (Graduate Texts in Mathematics) :Second Edition (English Edition)作者: Saunders Mac Lane発売…

圏同型と圏同値 二つの圏 と について, 函手 と で となるものがあるとき と は圏同型であると言いますが, 圏同型はかなり強い条件です. そこで, これを少しゆるめて となるような自然同型があるとき, と は圏同値であると言います.条件を緩めることは圏論で…

対象間の射と自然変換の関係 の対象は函手 とみなせますが, このとき から への自然変換とは, 射 のことに他なりません.以前, 自然変換の水平合成を定義していましたね. mathneko.hatenablog.comこれによれば, 函手 から への自然変換 における は と書くこ…

最後に参考文献を挙げて終わりにしようかと思ったのですが、もう少し書きます。米田の補題を使うと, 自然同型 があれば対象としての同型 があることがわかるのですが、それを少し詳しく(米田の補題を使わずに)書きます.そもそも自然同型 とは各 に対する(集…

トポスの定義 圏 がデカルト閉圏(cartesian closed category, CCC) であるとは, 以下の三つの函手が特定の右随伴を持つことを言います. これらの右随伴は ( は終対象) なので, CCC とは「終対象と(有限)積と冪が存在する圏」と言い換えることができます.圏 …

極限は対角函手の右随伴である の極限を で表します. これは対角函手 から の対象である への普遍射でした. 従って全ての に対して極限が存在するならば函手 は の右随伴です.双対的に全ての に対して余極限 が存在すれば は の左随伴です. つまり という関…

伏線回収回. 圏の積 「圏の積については後ほど一般的に定義します」と予告していましたので, ここで定義しておきます.「全ての圏からなる圏」というものを考えることができます. 二つの圏 の積とは, をこの「全ての圏からなる圏」の対象と見たときの積です. …

ファイバー積 極限の特殊ケースをもう一つ. という圏を考えます. これは見た目の通り, 対象が の三つで, (恒等射以外の)射は の二つだけ定義されている圏です. このとき函手 の極限は次図のようになり, ファイバー積 と言われているものです.

明けましておめでとうございます. 本年も当ブログをよろしくお願いいたします. 年の初めも圏論だよ ! 積は極限である 函手 を考えます( は離散圏). 対角函手 から への普遍射を とします. を自然変換とするとき, 次図が可換になるような射 が存在します. と…