定積分の問題(とりあえず結論) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

$F'(a)=\int_0^\pi\frac{dx}{a-\cos x}$
の積分であるが, ${\displaystyle\tan\frac{x}{2}=t}$ と置くと
${\begin{align} \int_0^\pi\frac{dx}{a-\cos x} &= \int_0^\infty\frac{1}{a-\frac{1-t^2}{1+t^2}}\ \frac{2}{1+t^2}dt \\ &= 2\int_0^\infty\frac{dt}{a(1+t^2)-(1-t^2)} \\ &= 2\int_0^\infty\frac{dt}{(a+1)t^2+(a-1)} \\ &= \frac{2}{a+1}\int_0^\infty\frac{dt}{t^2+\frac{a-1}{a+1}} \\ &= \frac{2}{a+1}\left[\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}\arctan\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}t\right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}} \end{align}}$
となる. これを $a$ について積分すると
${F(a)=\pi\log(a+\sqrt{a^2-1})+C}$
となるが, ${F(1)=-\pi\log 2}$ であったから
$F(a)=\pi\log\left(\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}\right)$
となる. 求めるものはこれの 2 倍であったから
${\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(a-\cos x)dx=2\pi\log\left(\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}\right)}$
となった.

後日おまけを書きます.