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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

定積分の問題(とりあえず結論)

{\displaystyle F'(a)=\int_0^\pi\frac{dx}{a-\cos x}}
積分であるが, {\displaystyle\tan\frac{x}{2}=t} と置くと
{\begin{align}
\int_0^\pi\frac{dx}{a-\cos x}
&= \int_0^\infty\frac{1}{a-\frac{1-t^2}{1+t^2}}\ \frac{2}{1+t^2}dt \\
&= 2\int_0^\infty\frac{dt}{a(1+t^2)-(1-t^2)} \\
&= 2\int_0^\infty\frac{dt}{(a+1)t^2+(a-1)} \\
&= \frac{2}{a+1}\int_0^\infty\frac{dt}{t^2+\frac{a-1}{a+1}} \\
&= \frac{2}{a+1}\left[\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}\arctan\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}t\right]_0^\infty \\
&= \frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}
\end{align}}
となる. これを a について積分すると
{F(a)=\pi\log(a+\sqrt{a^2-1})+C}
となるが, {F(1)=-\pi\log 2} であったから
{\displaystyle F(a)=\pi\log\left(\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}\right)}
となる. 求めるものはこれの 2 倍であったから
{\displaystyle\int_0^{2\pi}\log(a-\cos x)dx=2\pi\log\left(\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}\right)}
となった.

後日おまけを書きます.