小難しい二次方程式の話(その 3・最終回) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

さて, ${V}$ を根とするような ${K}$ 係数のもっとも次数の低い方程式を考えてみよう. もうネタはほぼバレバレなので ${D=p^2-4q}$ と書くことにする. すると ${V=\sqrt{D}}$ を根とする ${K}$ 係数のもっとも次数の低い方程式は言うまでもなく
${f_V(x)=x^2-D=0}$
である. そしてこの方程式は ${V=\sqrt{D}}$ と ${-V=-\sqrt{D}}$ を根に持つ. ${V}$ と ${-V}$ は軛(くびき)を共にしている !

そして前回定義した ${\varphi_1(x),\varphi_2(x)}$ に ${-V}$ を代入してみると
${\varphi_1(-V)=\alpha_2,\varphi_2(-V)=\alpha_1}$
で, 元の方程式の根の順列が入れ替わった !

折しも元の方程式の Galois 群は拡大 ${K(\sqrt{D})/K}$ の Galois 群で, それは 2 次対称群 ${S_2}$ であった. このことと, ${\sqrt{D}}$ と軛を共にする ${-\sqrt{D}}$ を「代用」としたことによって, 根の順列が入れ替わったことは, 実は偶然ではなくちゃんと因果関係があるのであるが, 続きはまたの講釈で.