本当に難しい三次方程式の話(その 2) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

さて, ${\sigma\in S_3}$ が生成するところの ${S_3}$ の部分群である 3 次交代群 ${A_3}$ は ${L^3}$ を(したがって ${R^3}$ も)動かさない. ということは ${K(L^3)}$ は ${A_3}$ に対応する不変体であり, 拡大 ${K(L)/K(L^3)}$ の次数は ${A_3}$ の位数であるところの 3 に等しい. しかるに拡大 ${K(L^3)/K}$ の次数は, となるのだが, あいにくと ${L^3\not\in K}$ である. しかし
${L^3+R^3=-27q,L^3R^3=-27p^3}$
と、 ${R^3}$ が ${L^3}$ と軛を共にしてくれる. つまり ${L^3}$ は二次方程式
${g(y)=y^2+27qy-27p^3=0}$
の解なのである. これにより ${K(L^3)/K}$ の拡大次数は 2 とわかるから ${K(L)/K}$ は 6 次拡大であるとわかる. ${L}$ の最小多項式は(一般の ${p,q}$ に対しては)
${f_L(x)=x^6+27qx^3-27p^3}$
となる.

ところで ${g(y)=0}$ の判別式 ${D'}$ は
${D'=27(4p^3+27q^2)}$
なのであるが, 一方で別の観点から計算すると
${D'=-27(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_2-\alpha_3)^2(\alpha_1-\alpha_3)^2}$
となる. ここで ${\sqrt{-27}=3\sqrt{-3}\in\mathbb{Q}(\omega)}$ であるから
${D=(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_2-\alpha_3)^2(\alpha_1-\alpha_3)^2}$
の部分が問題となる. これは元の三次方程式の判別式の定義式である. つまり
${D=-4p^3-27q^2}$
が元の三次方程式の判別式である. 今は ${p,q}$ は不定元として考えているから ${\sqrt{D}}$ は ${K}$ には属さないが, 具体的な ${p,q}$ が与えられれば当然事情も変わってくるので, 具体的な三次方程式の Galois 群はさまざまであるが, 共通して言えることは, それらは ${S_3}$ の部分群である, ということである. (続く)