ある級数の和(後編) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

さて
${\displaystyle\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac15\right)\left(1+\frac17\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)\left(1-\frac{1}{13}\right)\dots}}$ … (1)
の両辺を ${2}$ 倍すると
${\displaystyle\frac{\pi}{2}=\frac{1}{\left(1-\frac12\right)\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac15\right)\left(1+\frac17\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)\left(1-\frac{1}{13}\right)\dots}}$
を得る. これを ${\displaystyle\frac{1}{1-x}}$ の級数展開を利用して分解すると
${\displaystyle\frac{\pi}{2}=1+\frac12-\frac13+\frac14+\frac15-\frac16-\frac17+\frac18+\dots}$
となる. ここで ${\displaystyle\frac1n}$ の符号は「 ${n}$ を素因数分解したとき ${4m-1}$ 型の素因数が偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.
また, (1) の両辺を ${\displaystyle\frac23}$ 倍すると
${\displaystyle\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac15\right)\left(1+\frac17\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)\left(1-\frac{1}{13}\right)\dots}}$
を得るので, 同様に展開して
${\displaystyle\frac{\pi}{6}=1-\frac12-\frac13+\frac14+\frac15+\frac16-\frac17-\frac18+\dots}$
を得る. ここで ${\displaystyle\frac1n}$ の符号は「 ${n}$ を素因数分解したとき素因数 ${2}$ と ${4m-1}$ 型の素因数が合わせて偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.

一方
$\displaystyle\frac{\pi}{2}=\frac{1}{\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1-\frac17\right)\left(1-\frac{1}{11}\right)\left(1+\frac{1}{13}\right)\dots}$ … (2)
の両辺を ${2}$ 倍すると
${\displaystyle\pi=\frac{1}{\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1-\frac17\right)\left(1-\frac{1}{11}\right)\left(1+\frac{1}{13}\right)\dots}}$
を得るので, やはり分解して
${\displaystyle\pi=1+\frac12+\frac13+\frac14-\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\dots}$
となる. ここで ${\displaystyle\frac1n}$ の符号は「 ${n}$ を素因数分解したとき ${4m+1}$ 型の素因数が偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.
(2) の両辺を ${\displaystyle\frac23}$ 倍すると
${\displaystyle\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\left(1+\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1-\frac17\right)\left(1-\frac{1}{11}\right)\left(1+\frac{1}{13}\right)\dots}}$
となるので
${\displaystyle\frac{\pi}{3}=1-\frac12+\frac13+\frac14-\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\dots}$
となる. ここで ${\displaystyle\frac1n}$ の符号は「 ${n}$ を素因数分解したとき素因数 ${2}$ と ${4m+1}$ 型の素因数が合わせて偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.