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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

ある級数の和(後編)

さて
{\displaystyle\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac15\right)\left(1+\frac17\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)\left(1-\frac{1}{13}\right)\dots}} … (1)
の両辺を {2} 倍すると
{\displaystyle\frac{\pi}{2}=\frac{1}{\left(1-\frac12\right)\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac15\right)\left(1+\frac17\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)\left(1-\frac{1}{13}\right)\dots}}
を得る. これを {\displaystyle\frac{1}{1-x}}級数展開を利用して分解すると
{\displaystyle\frac{\pi}{2}=1+\frac12-\frac13+\frac14+\frac15-\frac16-\frac17+\frac18+\dots}
となる. ここで {\displaystyle\frac1n} の符号は「{n}素因数分解したとき {4m-1} 型の素因数が偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.
また, (1) の両辺を {\displaystyle\frac23} 倍すると
{\displaystyle\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac15\right)\left(1+\frac17\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)\left(1-\frac{1}{13}\right)\dots}}
を得るので, 同様に展開して
{\displaystyle\frac{\pi}{6}=1-\frac12-\frac13+\frac14+\frac15+\frac16-\frac17-\frac18+\dots}
を得る. ここで {\displaystyle\frac1n} の符号は「{n}素因数分解したとき素因数 {2}{4m-1} 型の素因数が合わせて偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.

一方
\displaystyle\frac{\pi}{2}=\frac{1}{\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1-\frac17\right)\left(1-\frac{1}{11}\right)\left(1+\frac{1}{13}\right)\dots} … (2)
の両辺を {2} 倍すると
{\displaystyle\pi=\frac{1}{\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1-\frac17\right)\left(1-\frac{1}{11}\right)\left(1+\frac{1}{13}\right)\dots}}
を得るので, やはり分解して
{\displaystyle\pi=1+\frac12+\frac13+\frac14-\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\dots}
となる. ここで {\displaystyle\frac1n} の符号は「{n}素因数分解したとき {4m+1} 型の素因数が偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.
(2) の両辺を {\displaystyle\frac23} 倍すると
{\displaystyle\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\left(1+\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1-\frac17\right)\left(1-\frac{1}{11}\right)\left(1+\frac{1}{13}\right)\dots}}
となるので
{\displaystyle\frac{\pi}{3}=1-\frac12+\frac13+\frac14-\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\dots}
となる. ここで {\displaystyle\frac1n} の符号は「{n}素因数分解したとき素因数 {2}{4m+1} 型の素因数が合わせて偶数個ならプラス, 奇数個ならマイナス」で決定する.