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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

積分の変形

面白い問題見つけたので解いてみた.

{\displaystyle\int_0^1\frac{x^{2n}}{x+1}dx=\log 2-\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k} を示せ.

って問題で, 「数学的帰納法を使われるのは気分が悪い」って言ってたから使わないでやってみた.
{\begin{align}
\int_0^1\frac{x^{2n}}{x+1}dx
&= \int_0^1 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k x^{2n+k}dx \\
&= \sum_{k=0}^\infty(-1)^k \int_0^1 x^{2n+k}dx \\
&= \sum_{k=0}^\infty(-1)^k \frac{1}{2n+k+1} \\
&= \log 2-\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right).
\end{align}}
ここで
{\begin{align}
&  1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \\
&= 1+\frac12+\frac13+\frac14+\dots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}-\left(1+\frac12+\dots+\frac1n\right) \\
&= \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k
\end{align}}
だから結論を得る.