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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

cardioid の陰関数表示

astroid に続いては cardioid の陰関数表示を.

cardioid は {r=a(1 + \cos \theta)} という極方程式によって与えられる平面曲線である.

(図は {a=2})

astroid のときと同じように {\mathbb{Q}[a, x, y, r, c, s]} の ideal

{\mathfrak{I}=\langle r - a(1 + c), x - rc, y - rs, r^2 - (x^2 + y^2)\rangle}

から {r, c, s} を消去すると陰関数表示が得られる.

Use QQ[a, x, y, r, c, s];
I := ideal(r - a * (1 + c), x - r * c, y - r * s, r^2 - (x^2 + y^2));
elim(r..s, I);

{- 2ax^3 + x^4 - a^2 y^2 - 2axy^2 + 2x^2 y^2 + y^4}
なる式を得る. 整理の仕方はいろいろあるが, 一例は {(x^2 - ax + y^2)^2 - a^2(x^2 + y^2)=0.}