陰関数表示についてもう少し - Red cat の数学よもやま話・新装開店

もう少し、いろいろな図形の陰関数表示を見ていこう。

レムニスケート(lemniscate)

極方程式 ${r^2 = 2a^2 \cos 2\theta}$ で定義される.

Use QQ[a, x, y, r, c, s];
I := ideal(r^2 - 2*a^2*(c^2 - s^2), x - r*c, y - r*s, r^2 - (x^2 + y^2));
elim(r..s, I);

> ideal(-2*a^2*x^2 +x^4 +2*a^2*y^2 +2*x^2*y^2 +y^4)

${(x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0.}$

リサジュー(Lissajous)図形

一般のケースは網羅し切れないので特別な場合について.

${\left\{\begin{align} x &= \cos 2\theta \\ y &= \sin\left(3\theta + \frac{\pi}{4}\right) \end{align}\right.}$

の場合,

Use QQ[a, x, y, c, s];
I := ideal(x - (c^2 - s^2), y - a*(c - s)*(c^2 + 4*c*s + s^2)/2, a^2 - 2, c^2 + s^2 - 1);
elim(c..s, I);

> ideal(a^2 -2, 16*x^6 -24*x^4 +4*y^4 +9*x^2 -4*y^2)

CoCoA では実数体を扱えないので少し工夫をして, 有理係数多項式環 ${\mathbb{Q}[a]}$ を ideal ${\langle a^2 - 2\rangle}$ で割って得られる体 ${\mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ を擬似的に用いている.