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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

陰関数表示についてもう少し

もう少し、いろいろな図形の陰関数表示を見ていこう。

レムニスケート(lemniscate)

極方程式 {r^2 = 2a^2 \cos 2\theta} で定義される.

Use QQ[a, x, y, r, c, s];
I := ideal(r^2 - 2*a^2*(c^2 - s^2), x - r*c, y - r*s, r^2 - (x^2 + y^2));
elim(r..s, I);

> ideal(-2*a^2*x^2 +x^4 +2*a^2*y^2 +2*x^2*y^2 +y^4)

{(x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0.}

リサジュー(Lissajous)図形

一般のケースは網羅し切れないので特別な場合について.

{\left\{\begin{align}
x &= \cos 2\theta \\
y &= \sin\left(3\theta + \frac{\pi}{4}\right)
\end{align}\right.}

の場合,

Use QQ[a, x, y, c, s];
I := ideal(x - (c^2 - s^2), y - a*(c - s)*(c^2 + 4*c*s + s^2)/2, a^2 - 2, c^2 + s^2 - 1);
elim(c..s, I);

> ideal(a^2 -2, 16*x^6 -24*x^4 +4*y^4 +9*x^2 -4*y^2)

CoCoA では実数体を扱えないので少し工夫をして, 有理係数多項式環 {\mathbb{Q}[a]} を ideal {\langle a^2 - 2\rangle} で割って得られる体 {\mathbb{Q}(\sqrt{2})} を擬似的に用いている.

{x^2(4x^2 - 3)^2 + 4y^2(y^2 - 1) = 0.}