包絡線としての astroid - Red cat の数学よもやま話・新装開店

先日, 天下りに astroid のパラメーター表示を与えて, そこから陰関数表示を導き出した. しかし待って欲しい. みんなの持ってる astroid のイメージって多分こんなんでしょ ?

そう, 長さ一定の線分が端点の一方を ${x}$ 軸上, もう一方を ${y}$ 軸上に固定された状態で滑りながら動くときの包絡線が astroid だ.

この線分の方程式は
$\frac{x}{L\cos\theta} + \frac{y}{L\sin\theta} = 1$
だ.

ちょいと整理すると
${F(x, y, \theta) = x\sin\theta + y\cos\theta - L\cos\theta\sin\theta = 0}$
と書き直せる.

一般に, パラメーターを持つ曲線群 ${F(x, y, t) = 0}$ が与えられたとき, 包絡線は
${\displaystyle\left\{\begin{align} F(x, y, t) &= 0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x, y, t) &= 0 \end{align}\right.}$
から ${t}$ を消去すると得られる.

実際今回の場合
${\displaystyle\frac{\partial F}{\partial \theta}(x, y, \theta) = x\cos\theta - y\sin\theta - L(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}$
なので...

ハイ, 待って ! ちょっと待って !

${\left\{\begin{align} xs + yc - Lcs &= 0 \\ xc - ys - L(c^2 - s^2) &= 0 \\ c^2 + s^2 - 1 &= 0 \end{align}\right.}$

今回は趣向を変えて Maxima に解かせてみる.

load(grobner);
I:[x*s + y*c - L*c*s, x*c - y*s - L*(c^2 - s^2), c^2 + s^2 - 1];
poly_elimination_ideal(I, 2, [c, s, x, y]);

ほれ, 前回と同じ式が導かれたじゃろ ? (出力結果省略)