の積分であるが, と置くと となる. これを について積分すると となるが, であったから となる. 求めるものはこれの 2 倍であったから となった.後日おまけを書きます.

の場合について考える. とおく. は で連続で も で連続であるから である.後程続きを書く.

とおくと なので となって したがって がわかった. あとは を考える.

が になるらしい. 解けたらまた記事書きます.追記 : とりあえず になることはわかった. とりあえず のときを何とか解決したい.

は右辺は で収束するが, 以下のように変形することができる. ここで二項定理により … (*) であるから と変形できる. この両辺から を引いて について解くと を に置き換えて ここで右辺に現れる は で定義されているから, 右辺全体は で定義されている.注意…

実数 について が有理数で と既約分数表示できるとき が無理数のとき として関数 を定義すると は有理数で不連続(有理数の稠密性から明らか) は無理数で連続 になる. 実際, を無理数として を一つ定めると に含まれる の形の既約分数は有限個しかない. そこ…