単連結でない空間上の微分形式 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

${D=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}}$ とおく. これは単連結でなく, ${S^1=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}}$ を変位レトラクトに持つ. 変位ホモトピーは
$h_t(x,y)=\left(x\exp\left(\frac{t-1}{2}\log(x^2+y^2)\right),y\exp\left(\frac{t-1}{2}\log(x^2+y^2)\right)\right)$
で与えられる.

さて ${D}$ 上の微分形式
${\displaystyle\omega=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy}$
を考える.
$P=-\frac{y}{x^2+y^2},Q=\frac{x}{x^2+y^2}$
とおくと ${P_y=Q_x}$ なので ${\omega}$ は閉形式.

一方で, ${D}$ 上で連続な関数 ${F}$ で ${dF = \omega}$ を満たすものは取れない.
一見, ${F=\arctan(y/x)}$ とおくと ${F_x=P,F_y=Q}$ であるが, ${F}$ は ${D}$ 上で連続でない*1ので ${dF\ne\omega}$ である. ${\omega}$ は完全形式ではないのである.

実際, 極座標変換
${x=r\cos\theta,y=r\sin\theta}$
によって ${D\approx (0,\infty)\times\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}}$ であり, ${\omega}$ に極座標変換を施すと
${\omega=d\theta}$
となる ! したがって
${\displaystyle\int_{S^1}\omega = 2\pi}$
であるから ${\omega}$ は
${H^1(D;\mathbb{R})\cong H^1(S^1;\mathbb{R})\cong\mathbb{R}}$
の生成元となっている.

*1:し, ${\arctan}$ の分枝をうまくとって連続にすることもできない