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Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

小難しい二次方程式の話(その 2)

さて, 少々天下り感があるが, {K} 係数の有理関数
{\displaystyle\varphi_1(x)=\frac{-p+x}{2},\varphi_2(x)=\frac{-p-x}{2}}
を考えよう. すると簡単な計算で
{f(\varphi_1(V))=0,f(\varphi_2(V))=0}
がわかるから
{\alpha_1=\varphi_1(V),\alpha_2=\varphi_2(V)}
とおける. そして
{f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}
因数分解できるが {\alpha_1,\alpha_2}{K(V)} の元であるから {f(x)}{K(V)} 上で因数分解できたことになる. すなわち {K(V)}{f(x)} の分解体である ! (続く)