Red cat の数学よもやま話・新装開店

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2012-09-17

小難しい二次方程式の話(その 2)

さて, 少々天下り感があるが, ${K}$ 係数の有理関数
${\displaystyle\varphi_1(x)=\frac{-p+x}{2},\varphi_2(x)=\frac{-p-x}{2}}$
を考えよう. すると簡単な計算で
${f(\varphi_1(V))=0,f(\varphi_2(V))=0}$
がわかるから
${\alpha_1=\varphi_1(V),\alpha_2=\varphi_2(V)}$
とおける. そして
${f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}$
と因数分解できるが ${\alpha_1,\alpha_2}$ は ${K(V)}$ の元であるから ${f(x)}$ は ${K(V)}$ 上で因数分解できたことになる. すなわち ${K(V)}$ は ${f(x)}$ の分解体である ! (続く)