Fleet 問題の解答 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

$x^{14} + x^7 + 1$ を(有理係数の範囲で)因数分解せよ.

これは過去に数検1級の問題として出題されたものの変化バージョンです. *1

この形のままだと何を因数に持つか分かりにくいので, 一旦 $x^7 - 1$ を掛けてみます.

$(x^7 - 1)(x^{14} + x^7 + 1) = x^{21} - 1$

となります. ここで右辺は 1 の 3 乗根を根に持ちますが, 1 以外の 3 乗根(原始 3 乗根)は $x^7 - 1$ の根にはなりません.
したがって $x^{14} + x^7 + 1$ が 1 の原始 3 乗根を根に持つことが分かるので, $x^{14} + x^7 + 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れることが分かります. 後はひたすら計算するだけです.

$\begin{align} x^{14} + x^7 + 1 &= x^{14} + x^{13} + x^{12} - x^{13} - x^{12} + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{13} - x^{12} + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{13} - x^{12} - x^{11} + x^{11} + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^{11} + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^{11} + x^{10} + x^9 \\ &\qquad - x^{10} - x^9 + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^{10} - x^9 + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^{10} - x^9 - x^8 + x^8 + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^8 + x^7 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^8 + x^7 + x^6 - x^6 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^6(x^2 + x + 1) - x^6 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^6(x^2 + x + 1) - x^6 - x^5 - x^4 \\ &\qquad\qquad + x^5 + x^4 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^6(x^2 + x + 1) - x^4(x^2 + x + 1) \\ &\qquad\qquad+ x^5 + x^4 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^6(x^2 + x + 1) - x^4(x^2 + x + 1) \\ &\qquad\qquad + x^5 + x^4 + x^3 - x^3 + 1 \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^6(x^2 + x + 1) - x^4(x^2 + x + 1) \\ &\qquad\qquad + x^3(x^2 + x + 1) - (x^3 - 1) \\ &= x^{12}(x^2 + x + 1) - x^{11}(x^2 + x + 1) + x^9(x^2 + x + 1) \\ &\qquad - x^8(x^2 + x + 1) + x^6(x^2 + x + 1) - x^4(x^2 + x + 1) \\ &\qquad\qquad + x^3(x^2 + x + 1) - (x - 1)(x^2 + x + 1) \\ &= (x^2 + x + 1)(x^{12} - x^{11} + x^9 - x^8 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1). \end{align}$

*1:実際に出題されたときは実数係数の範囲で因数分解せよ, という問題でした