楽しい圏論(その 8)
年忘れ圏論大会 ! (ぁ
1 年半ぶりの記事の前に, ちょっとブログの今後の運用について.
連載記事に関しては, 今書いている圏論の話が一段落したら終了とします. 今後はサイトを作ってそちらでまとめていく予定です. 今後は単発のトピックのみ取り扱っていきます.
今回は普遍射についてお話します.
随伴函手と普遍射
函手 が左随伴 を持つことと, 次のような条件が同値になります.
の任意の対象 に対して, の対象 と射 が定まり, 任意の射 に対して次図が可換になるような射 がただ一つ存在する.
実際, の左随伴 が存在すれば, 自然同型 が存在するので, この同型で に対応する射を とすれば に対して, この同型で対応する射 が条件を満たすただ一つの射になります.
逆を示すために, に対して を決めなくてはなりませんが, これは次図を考えると上手く行きます.
図を可換にするような がただ一つあるので, これを使って と定義すれば良いことがわかります. このとき自然同型 が成り立つことは演習としましょう.
ここで出てきた が から への普遍射(universal arrow)と言われているものです. この言葉を使うと
「 が左随伴を持つことは, の任意の対象 について から への普遍射が存在することと同値である.」
ということを今回示したことになります.