固定ツイート問題の解答 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

この方程式、解けますか? pic.twitter.com/THABZhnWdi
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月7日

$x^x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を解け.

まず, 方程式 $x^x = a (\gt 0)$ が解を持つ条件を調べてみます.
$y = x^x$ とおくと $\log y = x \log x$ です. 両辺を $x$ について微分して
$\dfrac{y'}{y} = 1 + \log x$
となるので $y' = x^x (1 + \log x)$ となり, $x = \dfrac{1}{e}$ のとき最小値 $e^{-\frac{1}{e}} = 0.6922\dots$ となります.

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = 0.707\dots$ ですから, 与えられた方程式は解を持つことはわかりました. ただし方程式 $x^x = a$ は $e^{-\frac{1}{e}} \lt a \lt 1$ の範囲では解を二つ持ちます. それはグラフからもわかります. 今は $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \left(\dfrac12\right)^\frac12$ を考えていますから, 解の一つは $x = \dfrac12$ です.