動画の別解 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

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$x = \sqrt[3]{3}$ とおくと元の式は $\dfrac{1}{x^2 + x + 2}$ と書けるが, ここで分母である $x^2 + x + 2$ に適切な 2 次式を掛け、なおかつ $x^3 = 3$ であることを用いて $x$ と $x^2$ の項を消せないか考えてみる.
$\begin{align} (x^2 + ax + b)(x^2 + x + 2) &= x^4 + (a + 1)x^3 + (a + b + 2)x^2 + (2a + b)x + 2b \\ &= (a + b + 2)x^2 + (2a + b + 3)x + 3(a + 1) + 2b \end{align}$
なので, 連立方程式
$\left\{\begin{array}{l} a + b + 2 = 0 \\ 2a + b + 3 = 0 \end{array}\right.$
を解いて $a = - 1, b = - 1$ となる. したがって与式は
$\dfrac{x^2 - x - 1}{-2} = \dfrac{1 + x - x^2}{2} = \dfrac{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}{2}.$