母関数を用いた種々の技法(その 5) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

前回の一般化.

式
${\begin{align} \frac{1}{(1 - z)^{x + 1}} &= \sum_n (- 1)^n{- x - 1 \choose n}z^n \\ &= \sum_n {x + n \choose n}z^n \end{align}}$
から始める. 両辺を ${x}$ で微分すると, 左辺は ${e^{- (x + 1)\ln(1 - z)}}$ と書き換えられるので, $\ln\frac{1}{1 - z}$ が因子として現れる. 右辺の ${\displaystyle{x + n \choose n}}$ は分子が ${(x + n)\dots(x + 1)}$ であり, これを ${x}$ で微分することになるので, 結果としては ${\displaystyle{x + n \choose n}}$ の微分は ${\displaystyle{x + n \choose n}}$ と
$\frac{1}{x + 1} + \dots + \frac{1}{x + n} = H_{x + n} - H_x$
の積となる. ここで ${H_{x + n} - H_x}$ は ${x}$ が非整数のときにも意味を持つことに注意すること. 結局
$\frac{1}{(1 - z)^{x + 1}}\ln\frac{1}{1 - z} = \sum_n (H_{x + n} - H_x){x + n \choose n}z^n$
が得られたことになる. この式で ${x = 0}$ と置けば前回導いた式が得られる.