負けるな文系!東大入試を倒せ! - Red cat の数学よもやま話・新装開店

$\pi \gt 3.05$ を示せ.

うん, また君なんだ. 済まない.

今回はちょっとした発想力で, 文系でも解ける解法を紹介します.

半径5の1/4円

上図のように, 半径5の円の第一象限の部分を考え, 4つの点 $\mathrm{A}(5,0),\mathrm{B}(4,3),\mathrm{C}(3,4),\mathrm{D}(0,5)$ を取って, 順に線分で結びます.

この折れ線の長さは $\sqrt{2}+2\sqrt{10} = \sqrt{2}(1 + 2\sqrt{5})$ です.

一方, 円弧の長さは $\dfrac{5}{2}\pi$ ですから, この時点で $\dfrac{5}{2}\pi \gt \sqrt{2}(1 + 2\sqrt{5})$ が分かります.

したがって, $\sqrt{2} \gt 1.41, \sqrt{5} \gt 2.23$ で下から見積もると

$\pi \gt 0.4 \times 1.41 \times (1 + 2 \times 2.23) = 3.07944$

となるので $\pi \gt 3.07$ が分かりました!

やや発想力が問われますが, 実は三角関数すら使わずに解けちゃうんですね.

追記 : こちらもより正確に計算すると $\pi \gt 3.0955\ldots \gt 3.09$ が分かります.