固定ツイート問題の解答 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

多重根号を外せ! pic.twitter.com/fZNDDxmvRz
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日

立方根を外すときの常套手段で, とりあえず
$x = \sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}}, y = \sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$ とおきます.

$x^3 + y^3 = 340$ はすぐにわかります.

$\begin{split} xy &= \sqrt[3]{170^2 - 78^2\cdot 3} \\ &= \sqrt[3]{28900 - 18252} \\ &= \sqrt[3]{10648} \\ &= \sqrt[3]{8\cdot 1331} \\ &= \sqrt[3]{22^3} = 22. \end{split}$

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ と変形して $(x + y)^3 - 66(x + y) = 340$ です.

$t^3 - 66t -340 = (t - 10)(t^2 + 10t + 34)$ で, $x + y$ は実数ですから $x + y = 10$ となります.

したがって $x, y$ は二次方程式 $s^2 - 10s + 22 = 0$ の解で, 特に $x$ はそのうちの大きい方です. 実際に解くと $s = 5 \pm \sqrt{3}$ となるので $x = 5 + \sqrt{3}$ となります.