ヘンテコ指数方程式 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

英語が怪しい pic.twitter.com/BWrLMuIjqW
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日

方程式 $x^{x^5} = 100$ を解け.

ツイートの画像は英語が正しいか怪しいので日本語で書き直します(苦笑).

$y = x^5$ とおくと $x = y^\frac15$ なので, 方程式は
$y^\frac{y}{5} = 10^2$
と書き直せます. 両辺を5乗すれば $y^y = 10^{10}$ となるので $y = 10$ です.

つまり $x^5 = 10$ なので $x = 10^\frac15$ です.

と, ここまでは前座で, 実際この $10^\frac15 = 10^{0.2}$ ってどのくらいの大きさなのかと関数電卓を叩いてみたら $1.58\dots$ と出てきたので, ちょっと脳筋になって頑張って評価してみました. 以下
$\begin{align} 5^5 &= 5\cdot 625 = 3125, \\ 7^5 &= 49\cdot 343 = 16807, \\ 8^5 &= 2^{15} \\ &= \frac{2^{16}}{2} \\ &= \frac{65536}{2} = 32768, \\ 11^5 &= \sum_{n=0}^5 \dbinom{5}{n} 10^n \\ &= 1 + 50 + 1000 + 10000 + 50000+ 100000 = 161051 \end{align}$
を使っていきます.

$11^5 = 161051 \lt 168070 = 7^5\cdot 10$ より $\left(\dfrac{11}{7}\right)^5 \lt 10$ , $5^5\cdot 10 = 31250 \lt 32768 = 8^5$ より $10 \lt \left(\dfrac85\right)^5$ , よって
$\left(\dfrac{11}{7}\right)^5 \lt 10 \lt \left(\dfrac85\right)^5$
となり $\dfrac15$ 乗して
$1.57\ldots = \dfrac{11}{7} \lt 10^\frac15 \lt \dfrac85 = 1.6$
で, 確かに $1.57\dots$ と $1.6$ の間にありました.