母関数を用いた種々の技法(その 2) - Red cat の数学よもやま話・新装開店

${ F_0 = 0, \\ F_1 = 1, \\ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\ (n\geqslant 0) }$
は Fibonacci 数の漸化式である. ここで第 3 の式の両辺に ${z^{n+2}}$ を掛けて ${n}$ についての和を取ると
${\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}F_{n+2}z^{n+2} = z\sum_{n\geqslant 0}F_{n+1}z^{n+1} + z^2\sum_{n\geqslant 0}F_nz^n}$
となるが,
${ \displaystyle\sum_{n\geqslant 0}F_{n+2}z^{n+2} = \sum_{n\geqslant 0}F_nz^n - z, \\ \displaystyle\sum_{n\geqslant 0}F_{n+1}z^{n+1} = \sum_{n\geqslant 0}F_nz^n }$
であることから, $F(z) = \sum_{n\geqslant 0}F_nz^n$ とおくと
${F(z)-z = zF(z) + z^2F(z)}$
となり, このことから
$F(z) = \frac{z}{1-z-z^2}$
が求まる. 級数展開すると
${F(z) = z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + 8z^6 + \dots}$
となるので
${F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, \dots}$
がわかるのだが, これだけではどうと言うこともないので, 次の記事で ${F_n}$ の閉じた式を求めることにする.