無理方程式を解く - Red cat の数学よもやま話・新装開店

方程式 $\sqrt{x + 5} + \sqrt{20 - x} = 7$ を解け.

一般的(?)な解き方は下記動画にて紹介されています.

www.youtube.com

ここでは少し違うアプローチをしてみましょう.

$t = \sqrt{x + 5}$ と置きます. このとき $x = t^2 - 5$ です. これを元の方程式に代入すると

$\begin{split} t + \sqrt{25 - t^2} &= 7 \\ \sqrt{25 - t^2} &= 7 - t \\ 25 - t^2 &= (7 - t)^2 \\ &= 49 - 14t + t^2 \end{split}$

となり, 整理すると $2t^2 -14t + 24 = 0$ , すなわち $t^2 - 7t + 12 = 0$ という $t$ についての二次方程式を得ます. これは $(t - 3)(t - 4) = 0$ と因数分解できますので, $t = 3, 4$ となります. それぞれの $t$ の値に応じて $x = 4, 11$ と答が求まります.