動画の別解 - Red cat の数学よもやま話・新装開店

youtu.be
二項定理でも解けるということなので, 二項定理を使って解いてみます.
$\displaystyle{\left(\frac{1 + \sqrt{7}i}{2}\right)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k}\left(\frac12\right)^{7-k}\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^k}$
実部は $k$ が偶数のところだけ取り出せばいいので
$\begin{align} & \binom{7}{0}\left(\frac12\right)^7\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^0 + \binom{7}{2}\left(\frac12\right)^5\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^2 \\ &\quad + \binom{7}{4}\left(\frac12\right)^3\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^4 + \binom{7}{6}\left(\frac12\right)\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}\right)^6 \\ &= \left(\frac12\right)^7 + 21\left(\frac12\right)^5\left(-\frac74\right) \\ &\quad + 35\left(\frac12\right)^3\left(\frac{49}{16}\right) + 7\left(\frac12\right)\left(-\frac{343}{64}\right) = -\frac{13}{2}. \end{align}$