2022-02-04

ちょっとだけ補足

youtu.be
$25x^2 - 5x - 4 = 0$ は $5x = \dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ として解いたほうが早いかも.

2022-01-31

まだまだあるよ!鬼難問の別解たち

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こちらの動画で紹介した別解の他に, 以下のような別解をいただきました.

解いてみました！

因数分解の式は恒等式なので、y = 0 や x = 0 を代入しても等式は成立！
y = 0 → 4x^3 - 12x^2 + 5x = x(2x - 1)(2x - 5)
x = 0 → -18y^3 + 36y^2 - 10y = -2y(3y - 1)(3y-5)

で、ノリでくっつけた
(x - 2y)(2x + 3y - 1)(2x + 3y - 5)
を計算したら、元の式と一致しました😋 https://t.co/Zz32DEdu1S
— バーチャルデータサイエンティストアイシア=ソリッド (@AIcia_Solid) 2022年1月31日

多変数の多項式を因数分解するとき, 変数に 0 を代入して, 最終形を予想するのは良くあるテクニックですが, 今回はまさにピッタリでしたね. 素晴らしい!

2022-01-30

難問を解く鍵は?

数学・代数

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動画では天下りのように $x - 2y$ を括り出していましたが, 何故この $x - 2y$ に当たりをつけられれたのか, ちょっとその思考に深入りしてみましょう.

元の式が因数分解できるのであれば, 定数項を持たない $ax + by$ の形の因数があるはずです. そこで

$(ax + by)(cx^2 + dxy + ey^2 + fx + gy + h)$

という形に分解できると考えたときに, 1次の項として出てくるのが $5x - 10y$ でなければならないので, $a = 1, b = -2, h = 5$ が怪しい, という話だったのです.

2022-01-28

動画の別解

数学・代数

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$f(f(x))$ が 4 次式なので $f(x)$ は二次式と考え, $f(x) = x^2 + ax + b$ とおきます.

$\begin{align} f(f(x)) &= (x^2 + ax + b)^2 + a(x^2 + ax + b) + b \\ &= x^4 + 2ax^3 + (a^2 + 2b)x^2 + 2abx + b^2 + ax^2 + a^2 x + ab + b \\ &= x^4 + 2ax^3 + (a^2 + a + 2b)x^2 + a(a + 2b)x + b(a + b + 1) \end{align}$

なので
$\left\{\begin{array}{rcc} 2a & = & -6 \\ a^2 + a + 2b & = & 6 \\ a(a + 2b) & = & 9 \\ b(a + b + 1) & = & 0 \end{array}\right.$

である. これを解くと $a = -3, b = 0$ となるので $f(x) = x^2 - 3x = x(x - 3).$

2021-12-27

動画の別解

数学・代数

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$\begin{align} 2^{2048} &= (2^2)^{1024} \\ &= 4^{4^5} \\ &= 4^{4 \cdot 4^4} \\ &= (4^4)^{4^4} \end{align}$

とも書き直せるので $x = 4^4 = 256$ と導くこともできます. こちらの方が思いつきやすかったかも?

2021-11-30

動画の別解

数学・幾何数学・解析

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何か別解の解説だけで動画作るのもアレなので、ブログに書きます。

$x = \cos \dfrac{\pi}{5} \cos \dfrac{2 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{4 \pi}{5}$ とおくと
$\begin{align} 2x \sin \frac{\pi}{5} &= 2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \dfrac{\pi}{5} \cos \dfrac{2 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{4 \pi}{5} \\ &= \sin \frac{2 \pi}{5} \cos \dfrac{2 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{4 \pi}{5}, \\ 4x \sin \frac{\pi}{5} &= 2 \sin \frac{2 \pi}{5} \cos \dfrac{2 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{4 \pi}{5} \\ &= \sin \frac{4 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{4 \pi}{5}, \\ 8x \sin \frac{\pi}{5} &= 2 \sin \frac{4 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{4 \pi}{5} \\ &= \sin \frac{8 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \\ &= - \sin \frac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5}, \\ 16x \sin \frac{\pi}{5} &= - 2 \sin \frac{3 \pi}{5} \cos \dfrac{3 \pi}{5} \\ &= - \sin \frac{6 \pi}{5} \\ &= \sin \frac{\pi}{5} \end{align}$
となるので $x = \dfrac{1}{16}.$

2021-11-26

動画の別解

数学・代数

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$x = \sqrt[3]{3}$ とおくと元の式は $\dfrac{1}{x^2 + x + 2}$ と書けるが, ここで分母である $x^2 + x + 2$ に適切な 2 次式を掛け、なおかつ $x^3 = 3$ であることを用いて $x$ と $x^2$ の項を消せないか考えてみる.
$\begin{align} (x^2 + ax + b)(x^2 + x + 2) &= x^4 + (a + 1)x^3 + (a + b + 2)x^2 + (2a + b)x + 2b \\ &= (a + b + 2)x^2 + (2a + b + 3)x + 3(a + 1) + 2b \end{align}$
なので, 連立方程式
$\left\{\begin{array}{l} a + b + 2 = 0 \\ 2a + b + 3 = 0 \end{array}\right.$
を解いて $a = - 1, b = - 1$ となる. したがって与式は
$\dfrac{x^2 - x - 1}{-2} = \dfrac{1 + x - x^2}{2} = \dfrac{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}{2}.$