2021-08-10

対数の値

数学・代数数学・解析

$a = \log_2 3$

a はどの範囲?
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日

関数電卓も近似値もいらないよ!普通に解けるよ!

定義から $2^a = 3 \lt 4 = 2^2$ ですから少なくとも $a \lt 2$ はわかるので, 4番目の選択肢は除外されますね.

$2^a = 3$ の両辺を2乗すると $2^{2a} = 9 \gt 8 = 2^3$ なので, $2a \gt 3$ , つまり $a \gt \dfrac32$ です. これで3番目の選択肢も除外されます.

$2^a = 3$ の両辺を3乗すると $2^{3a} = 27 \lt 32 = 2^5$ なので $3a \lt 5$ , つまり $a \lt \dfrac53$ です.

つまり $\dfrac32 \lt a \lt \dfrac53$ が正解でした.

余談ですが $2^a = 3$ の両辺を5乗すると $2^{5a} = 3^5 = 243 \lt 256 = 2^8$ なので, $5a \lt 8$ , つまり $a \lt \dfrac85$ です.

したがって $1.5 = \dfrac32 \lt a \lt \dfrac85 = 1.6$ が分かります.

2021-08-10

10の5乗根(止め)

数学・代数数学・解析

mathneko.hatenablog.com
mathneko.hatenablog.com

二項定理で上から止めを刺す.

$\begin{align} 1.59^5 &= (1.6 - 0.01)^5 \\ &= \left(\frac{2^4}{10} - \frac{1}{10^2}\right)^5 \\ &= \left(\frac{2^4}{10}\right)^5 - 5\left(\frac{2^4}{10}\right)^4 \left(\frac{1}{10^2}\right) + 10\left(\frac{2^4}{10}\right)^3 \left(\frac{1}{10^2}\right)^2 \\ &\quad - 10\left(\frac{2^4}{10}\right)^2 \left(\frac{1}{10^2}\right)^3 + 5\left(\frac{2^4}{10}\right)\left(\frac{1}{10^2}\right)^4 - \left(\frac{1}{10^2}\right)^5 \\ &= \frac{2^{20}}{10^5} - \frac{2^{16}\cdot 5}{10^6} + \frac{2^{12}}{10^6} - \frac{2^8}{10^7} + \frac{2^4\cdot 5}{10^9} - \frac{1}{10^{10}} \\ &= \frac{2^{20}}{10^5} - \frac{2^{15}}{10^5} + \frac{2^{12}}{10^6} - \frac{2^8}{10^7} + \frac{2^3}{10^8} - \frac{1}{10^{10}} \\ &= \frac{(2^{20}\cdot 10^5 + 2^{12}\cdot 10^4 + 2^3\cdot 10^2) - (2^{15}\cdot 10^5 + 2^8\cdot 10^3 + 1)}{10^{10}} \\ &= \frac{(104857600000 + 40960000 + 800) - (3276800000 + 256000 + 1)}{10^{10}} \\ &= \frac{104898560800 - 3277056001}{10^{10}} \\ &= \frac{101621504799}{10^{10}} \\ &= 10.1621504799 > 10 \end{align}$

結局 $1.58 \lt 10^\frac15 \lt 1.59$ だった.

2021-08-09

円周率の評価

数学・解析

mathneko.hatenablog.com

せっかく $\sqrt{10} \gt 3.16$ が分かったのでもう少し細かく(?)計算してみます.

$\begin{split} \pi &\gt \frac25 \left(\sqrt{2} + 2\sqrt{10}\right) \\ &\gt 0.4 \times (1.41 + 2 \times 3.16) \\ &= 0.4 \times 7.73 \\ &= 3.092 \gt 3.09 \end{split}$

2021-08-09

10の5乗根のさらなる評価

数学・解析

mathneko.hatenablog.com

Twitter でせっかくコメントをいただいたので, ちょっと詳しく.

$2^5\cdot 10^2 = 3200 \gt 3125 = 5^5$ なので $10^2 \gt \left(\dfrac52\right)^5$ .
両辺の10乗根を取って $10^\frac15 \gt \sqrt{\dfrac52} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ .

$3.15^2 = 9.9225$ と $3.16^2 = (3.15 + 0.01)^2$ から $3.16^2 = 9.9856 \lt 10$ , すなわち $\sqrt{10} \gt 3.16$ がわかるので $10^\frac15 \gt \dfrac{\sqrt{10}}{2} \gt \dfrac{3.16}{2} = 1.58$ .

2021-08-09

ヘンテコ指数方程式

数学・代数数学・解析

英語が怪しい pic.twitter.com/BWrLMuIjqW
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日

方程式 $x^{x^5} = 100$ を解け.

ツイートの画像は英語が正しいか怪しいので日本語で書き直します(苦笑).

$y = x^5$ とおくと $x = y^\frac15$ なので, 方程式は
$y^\frac{y}{5} = 10^2$
と書き直せます. 両辺を5乗すれば $y^y = 10^{10}$ となるので $y = 10$ です.

つまり $x^5 = 10$ なので $x = 10^\frac15$ です.

2021-08-09

固定ツイート問題の解答

数学・代数

多重根号を外せ! pic.twitter.com/fZNDDxmvRz
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月9日

立方根を外すときの常套手段で, とりあえず
$x = \sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}}, y = \sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$ とおきます.

$x^3 + y^3 = 340$ はすぐにわかります.

$\begin{split} xy &= \sqrt[3]{170^2 - 78^2\cdot 3} \\ &= \sqrt[3]{28900 - 18252} \\ &= \sqrt[3]{10648} \\ &= \sqrt[3]{8\cdot 1331} \\ &= \sqrt[3]{22^3} = 22. \end{split}$

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ と変形して $(x + y)^3 - 66(x + y) = 340$ です.

$t^3 - 66t -340 = (t - 10)(t^2 + 10t + 34)$ で, $x + y$ は実数ですから $x + y = 10$ となります.

したがって $x, y$ は二次方程式 $s^2 - 10s + 22 = 0$ の解で, 特に $x$ はそのうちの大きい方です. 実際に解くと $s = 5 \pm \sqrt{3}$ となるので $x = 5 + \sqrt{3}$ となります.

2021-08-08

固定ツイート問題の解答

数学・代数数学・解析

この方程式、解けますか? pic.twitter.com/THABZhnWdi
— 圏論のあか☆ねこ (@math_neko) 2021年8月7日

$x^x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を解け.

まず, 方程式 $x^x = a (\gt 0)$ が解を持つ条件を調べてみます.
$y = x^x$ とおくと $\log y = x \log x$ です. 両辺を $x$ について微分して
$\dfrac{y'}{y} = 1 + \log x$
となるので $y' = x^x (1 + \log x)$ となり, $x = \dfrac{1}{e}$ のとき最小値 $e^{-\frac{1}{e}} = 0.6922\dots$ となります.

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = 0.707\dots$ ですから, 与えられた方程式は解を持つことはわかりました. ただし方程式 $x^x = a$ は $e^{-\frac{1}{e}} \lt a \lt 1$ の範囲では解を二つ持ちます. それはグラフからもわかります. 今は $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \left(\dfrac12\right)^\frac12$ を考えていますから, 解の一つは $x = \dfrac12$ です.