Red cat の数学よもやま話・新装開店

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動画の別解

数学・代数


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x = \sqrt[3]{3} とおくと元の式は \dfrac{1}{x^2 + x + 2} と書けるが, ここで分母である x^2 + x + 2 に適切な 2 次式を掛け、なおかつ x^3 = 3 であることを用いて x と x^2 の項を消せないか考えてみる.
\begin{align} (x^2 + ax + b)(x^2 + x + 2) &= x^4 + (a + 1)x^3 + (a + b + 2)x^2 + (2a + b)x + 2b \\ &= (a + b + 2)x^2 + (2a + b + 3)x + 3(a + 1) + 2b \end{align}
なので, 連立方程式
\left\{\begin{array}{l} a + b + 2 = 0 \\ 2a + b + 3 = 0 \end{array}\right.
を解いて a = - 1, b = - 1 となる. したがって与式は
\dfrac{x^2 - x - 1}{-2} = \dfrac{1 + x - x^2}{2} = \dfrac{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}{2}.

対数の値

数学・代数 数学・解析

a = \log_2 3

関数電卓も近似値もいらないよ!普通に解けるよ!

定義から 2^a = 3 \lt 4 = 2^2 ですから少なくとも a \lt 2 はわかるので, 4番目の選択肢は除外されますね.

2^a = 3 の両辺を2乗すると 2^{2a} = 9 \gt 8 = 2^3 なので, 2a \gt 3, つまり a \gt \dfrac32 です. これで3番目の選択肢も除外されます.

2^a = 3 の両辺を3乗すると 2^{3a} = 27 \lt 32 = 2^5 なので 3a \lt 5, つまり a \lt \dfrac53 です.

つまり \dfrac32 \lt a \lt \dfrac53 が正解でした.

余談ですが 2^a = 3 の両辺を5乗すると 2^{5a} = 3^5 = 243 \lt 256 = 2^8 なので, 5a \lt 8, つまり a \lt \dfrac85 です.

したがって 1.5 = \dfrac32 \lt a \lt \dfrac85 = 1.6 が分かります.