Red cat の数学よもやま話・新装開店

はてなダイアリー「Red cat の数学よもやま話」から徐々にこちらに移行していきます。

数学・代数

Catalan 数の計算について

Catalan 数のことは語らんよ ? …嘘です, ちょっとだけ語らせて !先だって発売された新刊「数学ガールの秘密ノート/場合の数」に Catalan 数が登場する.数学ガールの秘密ノート/場合の数 (数学ガールの秘密ノートシリーズ)作者: 結城浩出版社/メーカー: SBク…

代数曲線と消去イデアル

ここまでさまざまな(パラメーター表示や極方程式で定義された)曲線を と の多項式によって陰関数表示してきた. それにより, それらが代数曲線であることもわかったわけであるが, そこで暗黙的に使っていた理論がある. の ideal に対し を 番目の消去イデアル…

包絡線としての astroid

先日, 天下りに astroid のパラメーター表示を与えて, そこから陰関数表示を導き出した. しかし待って欲しい. みんなの持ってる astroid のイメージって多分こんなんでしょ ?そう, 長さ一定の線分が端点の一方を 軸上, もう一方を 軸上に固定された状態で滑…

陰関数表示についてもう少し

もう少し、いろいろな図形の陰関数表示を見ていこう。 レムニスケート(lemniscate) 極方程式 で定義される. Use QQ[a, x, y, r, c, s]; I := ideal(r^2 - 2*a^2*(c^2 - s^2), x - r*c, y - r*s, r^2 - (x^2 + y^2)); elim(r..s, I); > ideal(-2*a^2*x^2 +x^4…

cardioid の陰関数表示

astroid に続いては cardioid の陰関数表示を.cardioid は という極方程式によって与えられる平面曲線である.(図は )astroid のときと同じように の idealから を消去すると陰関数表示が得られる. Use QQ[a, x, y, r, c, s]; I := ideal(r - a * (1 + c), x …

astroid の陰関数表示

1 年振りでございました…orzastroid という曲線をご存じであろうか.というパラメーター表示を持つ曲線である.(上図は )これのよく知られた陰関数表示として があるが, 多項式じゃないから美しくない*1.実は astroid にはれっきとした多項式による表示がある.…

Möbius 関数の性質

Möbius 関数の性質についていくつか. Möbius の反転公式 左から右は 右から左は Möbius 関数の具体的な値 Möbius 関数は乗法的であるから, 素数 に対する の値が分かればよい. 定義により かつ であるから

Möbius 関数の Dirichlet 母関数(その 1)

母関数ネタの締めに, Möbius 関数の Dirichlet 母関数なるものを求めてみたい. 今回はそのための準備.正の整数を引数とする関数 が を満たすとき, は乗法的であるという. なる関係式があるとき, が乗法的ならば明らかに も乗法的であるが, 実はその逆が成り…

二項係数に関する関係式(補足)

二項係数に関する関係式 - Red cat の数学よもやま話・新装開店 の補足記事. mathneko.hatenablog.com補題. のとき ただし は第 2 種 Stirling 数. (証明) のときは により成り立つ. よって補題は帰納的に成り立つ.命題 1. のとき (証明) ただし は下降階乗…

二項係数に関する関係式

の両辺に ( は についての微分作用素)を 回作用させて を代入すると左辺は のとき , のとき となるので が成り立つ. これを利用すると 参考サイト : 私的数学塾 (「私の備忘録」→「代数学分野」→「二項係数の性質」)

本当に難しい三次方程式の話(その 3・最終回)

お話の最後にちょっと面白い事実を紹介しよう. を の任意の元*1とするとき が成り立つことが確かめられる. 二次方程式のときと同じく根の順列が入れ替わり, しかもその入れ替わり方と に作用させる の元との因果関係がはっきりと見て取れる. 二次方程式のと…

本当に難しい三次方程式の話(その 2.5)

ちょっとおまけとして, 特殊な場合の三次方程式の Galois 群を考えてみよう. の場合 このとき は既約でないから の 上の最小多項式にはならない. 一般に最小多項式は であって は高々 3 次拡大である. したがって, の値によって Galois 群は ないし単位群に…

本当に難しい三次方程式の話(その 2)

さて, が生成するところの の部分群である 3 次交代群 は を(したがって も)動かさない. ということは は に対応する不変体であり, 拡大 の次数は の位数であるところの 3 に等しい. しかるに拡大 の次数は, となるのだが, あいにくと である. しかし と、 …

本当に難しい三次方程式の話(その 1)

何でたかが二次方程式をそこまで小難しくやったのかというと, 実は今日から数回にわたってお話する三次方程式の議論のための伏線でありました. だからここからが本題です.我々は Tschirnhaus 変換によって三次方程式は の形のものだけを考えればよいことがわ…

小難しい二次方程式の話(その 3・最終回)

さて, を根とするような 係数のもっとも次数の低い方程式を考えてみよう. もうネタはほぼバレバレなので と書くことにする. すると を根とする 係数のもっとも次数の低い方程式は言うまでもなく である. そしてこの方程式は と を根に持つ. と は軛(くびき)…

小難しい二次方程式の話(その 2)

さて, 少々天下り感があるが, 係数の有理関数 を考えよう. すると簡単な計算で がわかるから とおける. そして と因数分解できるが は の元であるから は 上で因数分解できたことになる. すなわち は の分解体である ! (続く)

小難しい二次方程式の話(その 1)

先日紹介した「数学ガール/ガロア理論」でも述べられている通り, 代数方程式と体の拡大と対称群には深い関わりがある. そこで今回は二次方程式を例にとって, 敢えて中学生でも知っている二次方程式の解の公式を小難しく書いて大人チックな読み物にしてみよう…

12 の魅力

「数学ガール/ガロア理論」第 4 章において、1 の原始 12 乗根と円分多項式の話題が取り上げられている。読者の方の中には「何故 12 なのか ?」と思われた方がいるかもしれない。答は「12 が約数の数が豊富である」ことによる。たとえば 8 や 10 なら 12 よ…